KELILING DAN
LUAS LINGKARAN
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim
Dengan memanjatkan syukur alhamdulillah kehadirat Allah
SWT, yang telah mencurahkan berkat dan rahmat-nya, sehingga makalah ini dapat
diselesaikan.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa pembahasan materi dari makalah ini,
masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, kritik dan
saran yang sifatnya konstruktif sangat penulis harapkan demi kesempurnaan
makalah ini.
Penulis
menyadari pula sepenuhnya bahwa dalam penyusunan makalah ini,sungguh banyak
kendala yang dihadapi, namun berkat pertolongan
Allah SWT yang telah memberikan kemudahan-kemudahan melalui bantuan
buku-buku bacaan dan pelajaran, sehingga pada akhirnya dapat juga diselesaikan.
Pada
penulisan makalah ini sebagian besar materinya dihimpun dari beberapa literatur
dan sumber buku-buku pelajaran dan bacaan yang yang menyangkut dalam materi
ini. Tentu saja materi ini sangat penting untuk mengikuti materi perkuliahan
dan pembelajaran di STIA Alma Ata.
Akhirul
kalam, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat dan membawa berkah
bagi penulis dan para pembaca, serta diridhai Allah SWT, amin.
Yogyakarta, 20
Maret 2015
Penyusun,
DAFTAR ISI
Kata
Pengantar ........................................................................................................................
Daftar
Isi .................................................................................................................................
Bab
I Pendahuluan ................................................................................................
A. Latar Belakang .......................................................................................
B. Rumusan Masalah ..................................................................................
C.
Tujuan…………………………………………………………………...
Bab
II Pembahasan .................................................................................................
A.
Pengertian Lingkaran……………………………….................................
B.
Unsur-Unsur Lingkaran……………………............................................
C.
Luas Daerah Lingkaran ….......................................................................
D.
Keliling Lingkaran ...................................................................................
Bab
III Penutup .......................................................................................................
A. Kesimpulan .............................................................................................
Daftar
Pustaka..........................................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Agar dapat belajar geometri dengan baik dan benar, peserta didik
dituntut untuk menguasai kemampuan dasar geometri, ketrampilan dalam
pembuktian, ketrampilan membuat lukisan dasar geometri, dan mempunyai
wawasan pandang ruang yang memadai. Konsep awal peserta didik sangat
berpengaruh terhadap pembentukan konsep lainnya dan pemahaman terhadap
materi yang menggunakan konsep tersebut, seperti pemahaman konsep bangun-bangun
datar seperti segiempat, segitiga, dan lingkaran. Berdasarkan uraian tersebut di
atas selanjutnya akan di kemukakan tentang materi matematika (geometri)
khususnya materi Lingkaran. Pada jenjang pendidikan dasar (sekolah dasar)
materi tentang lingkaran hanya sebatas pengenalan bentuk dan
unsur-unsurnya, contohnya mudah ditemukan dalam kehidupan sehari-sehari.
Selanjutnya meteri lingkaran di tingkat SMP sudah berada pada tingkatan yang
lebih tinggi misalnya definisi lingkaran, garis singgung, bagian-bagian
lingkaran dan sebagainya. Dengan demikian materi geometri tentang bangun datar
yaitu lingkaran terdapat disetiap jenjang pendidikan mulai dari pendidikan
dasar, pendidikan menengah sampai pada pendidikan tinggi dan merupakan dasar
untuk setiap jenjang yang lebih tinggi baik pemahaman konsep lingkaran maupun
penggunaan lingkaran dalam pemecahan masalah matematika.
Lingkaran,
berbicara mengenai salah satu bangun datar yang satu ini, akan mendatangkan
banyak manfaat bagi kita jika kita dapat memahami rumus-rumus dan persamaan
yang dapat kita gunakan untuk menghitung lingkaran. Seperti menghitung rumus
luas lingkaran dan menghitung keliling lingkaran. Semua
itu merupakan persamaan mendasar dalam matematika yang
sebaiknya kita pahami untuk menuju ke jenjang materi lainnya yang berhubungan
erat dengan lingkaran.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian dari lingkarang?
2. Sebutkan unsur-unsur lingkaran
C.
Tujuan
1. Untuk mengetahui pengertian materi keliling
dan luas lingkaran
2. Untuk menambah wawasan tentang materi keliling
dan luas lingkaran
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian Lingkaran
Lingkaran
adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak sama dari titik
pusat.[1]
Perhatikan gambar di bawah ini. Siapa yang tidak tahu
ban mobil dan uang logam? Itu merupakan barang-barang yang mudah Anda temui
dalam kehidupan sehari-hari. Ban mobil, uang logam, tutup botol dan lain sebagainya yang merupakan
contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran.
Secara geometris, benda-benda tersebut dapat
digambarkan seperti pada Gambar (a), Perhatikan Gambar (b) dengan saksama.
Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada
lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut
memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah
kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik
pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik
tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) ,
jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran. Jadi dapat disimpulkan bahwa
lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama
tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat
lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk
keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).
B.
Unsur-unsur Lingkaran
Tentu kalian
semua tahu bahwa ada berbagai jenis bangun datar. Masing-masing bangun datar
tersebut pastinya terbentuk atau terdiri dari berbagai unsur yang membentuk dan
membangunnya. Salah satu jenis bangun datar adalah lingkaran. Sebuah lingkaran
memiliki bagian-bagian tersendiri yang menjadi unsur-unsur pembentuk lingkaran.
Unsur-unsur lingkaran bisa dibilang cukup banyak mulai dari jari-jari, busur,
diameter, titik pusat, juring, sudut pusat, apotema dan juga sudut lingkaran. Untuk melihat gambarnya silahkan lihat gambar di bawah
ini.
Unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran,
yaitu :
Ø Unsur-unsur lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1.
Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
Jadi Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat
di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat
lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.
Ø Unsur-unsur lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.Jadi Jari-Jari (r ) Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.Jadi Jari-Jari (r ) Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
2.
Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda. Jadi Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda. Jadi Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.
3.
Busur(B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. Jadi Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. Jadi Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.
4.
Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter(D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. Jadi letak geometer pada gambar tersebut adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. Jadi letak geometer pada gambar tersebut adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r
6. Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran. Jadi Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. C.
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran. Jadi Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. C.
Ø Unsur-unsur lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1.
Juring(J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. Jadi Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari- jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. Jadi Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari- jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
2.
Tembereng(T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. Jadi Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. Jadi Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.
3.
Cakram(C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan phi. Cakram merupakan juring terbesar.
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan phi. Cakram merupakan juring terbesar.
C.
Luas Daerah Lingkaran
Luas daerah
lingkaran merupakan bagian dalam lingkaran. Sehingga luas daerah lingkaran
adalah luas seluruh daerah dalam (interior) suatu lingkaran. Untuk mengetahui
hubungan antara luas daerah lingkaran dengan jari-jarinya dapat dilakukan
percobaan sebagai berikut.
Cara menghitung luas daerah lingkaran dapat dilakukan
dengan metode berikut:
1. Dengan menggunakan jangka buatlah sebuah
lingkaran pada sebuah karton yang jari-jarinya tertentu misalkan r cm. Kemudian
guntinglah karton tersebut menurut lingkaran tersebut.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 16 juring
lingkaran yang sama, seperti gambar di atas, kemudian guntinglah lingkaran
tersebut sesuai garis-garis sehingga diperoleh 16 potongan kertas yang
berbentuk juring lingkaran.
3. Susunlah potongan-potongan kertas yang
berbentuk juring tersebut seperti gambar berikut:
4. Pada gambar di atas diperkirakan, apabila
suatu daerah dalam lingkaran dibagi menjadi sebanyak mungkin juring-juring,
maka luas daerah lingkaran itu mendekati (hampir sama) luas derah jajar genjang
ABCD. Panjang DE sebagai tinggi jajaran genjang sama dengan jari-jari r,
sedangkan AB=CD dimana AB+CD sama dengan keliling lingkaran, sehingga AB=½ k.
Jadi luas daerah lingkaran dianggap sama dengan luas daerah jajaran genjang
ABCD=½ k. r=½ (πd) r=½π (2r)r=πr².
Dengan percobaan di atas, diperoleh hubungan
antara nilai π dengan jari-jari, yakni luas daerah lingkaran adalah:
L = πr²
...............................................................................................
(3)
Keterangan L
: Luas Daerah Lingkaran
r:
Jari-Jari Lingkaran
π:
22/7 atau 3,14
contoh:
hitunglah luas lingkaran yang memiliki jari-jari 7cm
jawab
L = 22/7.7²
L = 22.7 =154 cm²
D.
Keliling Lingkaran
Keliling
lingkaran dapat diartikan sebagai ukuran lingkaran itu sendiri. Contoh
sederhana dapat dilihat pada sebuah gelang yang terbuat dari logam adalah suatu
model lingkaran. Jika gelang tersebut dipotong kemudian diluruskan sehingga
membentuk batangan logam yang lurus, maka panjang batangan logam tersebut
merupakan keliling gelang (lingkaran).
Percobaan
1. Ambilah tiga buah benda yang memuat bangun
lingkaran. Dengan menggunakan benang ukurlah keliling dan diameter lingkaran
masing-masing benda tersebut, serta tuliskan dalam tabel dibawah ini:
Benda-Benda
|
Keliling (K)
|
Diameter (d)
|
k/d = π
|
Kaleng minuman
|
24 cm
|
7,7 cm
|
3,11
|
Kaleng susu
|
21,5 cm
|
7,0 cm
|
3,07
|
Taperware
|
35,5 cm
|
11 cm
|
3,22
|
2. Dengan menggunakan kalkulator diperoleh
perbandingan keliling dan diameter benda itu senditri seperti terlihat pada
kolom ke-4. Sepintas lalu dapat diduga bahwa perbandingan k/d nilainya sekitar
3,1 , dan nilai rata-rata dari ketiga perbandingan itu adalah (3,11+ 3,07+
3,22)/3 =3,13 nilainya mendekati 3,14 atau 22/7
Perbandingan keliling lingkaran dengan
diameternya dilambangkan dengan π (dibaca Phi). Jadi π = k/d
Apabila kedua ruas dikalikan dengan d
diperoleh πd = k atau dapat ditulis
K
= πd
......................................................................................
(1)
Keterangan K
=keliling Lingkaran
D
= Diameter Lingkaran
Π
= 22/7 atau 3,14.
Karena d diameter itu sama dengan dua
kali jari-jari, ditulis d = 2r, maka rumus keliling lingkaran dapat ditulis
menjadi k = π (2r) atau
K
= 2πr
.....................................................................................
(2)
Keterangan K
= Keliling Lingkaran
r
= Jari-Jari Lingkaran
π
= 22/7 atau 3,14
rumus
(1) dan (2) adalah rumus untuk menghitung keliling lingkaran, k =πd
contoh 1:
tentukan keliling lingkaran yang berjari-jari
14 cm dengan π = 22/7
jawab:
keliling lingkaran k= 2πr
=
2x 22/7x 14 cm
=
88 cm
LATIHAN SOAL:
1.
Sebuah roda sepeda memiliki jari-jari 21 cm. ketika sepeda dikayuh, ban
tersebut berputar sebanyak 50 kali. tentukanlah keliling dan jarak yang
ditempuh oleh ban sepeda tersebut.
Pembahasan:
Cari kelilingnya dahulu:
K = 2πr
K = 2 x 22/7 x 21
K = 12 cm
untuk mengetahui jarak yang ditempuh gunakan rumus:
Jarak = Keliling x banyak putaran
Jarak = 12 x 50
Jarak = 600 cm
Maka jarak yang telah ditempuh roda sepeda tersebut adalah 600 cm
atau 6 meter.
2.
Sebuah
stadion berbentuk lingkaran memiliki keliling 132 m, berapakah luas keseluruhan
dari stadion tersebut!
Pembahasan:
Untuk mencari luas lingkaran kita
harus mengetahui jari-jarinya terebih dahulu. karena yang diketahui adalah
keliling lingkaran, maka kita bisa mengetahui jari-jarinya dengan rumus:
K = 2πr
132 m = 2 x 22/7 x r
132 m = 44r/7
3 m = r/7
r = 21 m
Setelah jari-jarinya diketahui barulah kita bisa mencari luasnya:
L = πr2
L = 22/7 x 21 x 21
L = 22/7 x 441
L = 1386 m2
3.
Ada sebuah
lingkaran berada tepati ditengah-tengah sebuah persegi. apabila panjang persegi
tersebut adalah 35cm, coba kalian tentukan luas persegi, keliling lingkaran,
serta luas dari lingkaran tersebut!
Pembahasan:
Luas persegi kita cari dengan rumus:
Luas Persegi = s2
Luas Persegi = 352
Luas Persegi = 1225 cm2
Sekarang kita cari luas lingkaran tersebut:
karena posisi lingkaran tepat berada ditengah persegi
maka diameternya sama dengan panjang sisi persegi yaitu 35cm. berarti jari-jari
dari lingkaran itu adalah 12,5 cm
Luas lingkaran = πr2
Luas lingkaran = 22/7 x 12,52
Luas lingkaran = 491,07 cm2
Setelah itu cari kelilingnya:
Keliling Lingkaran = 2πr
Keliling Lingkaran = 2 x 22/7 x 12,5
Keliling Lingkaran = 78,57 cm
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Lingkaran adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak
sama dari titik pusat
Unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran,
yaitu :
- Unsur-unsur
lingkaran yang berupa titik, yaitu :
- Titik pusat(P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
- Unsur-unsur
lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
- Jari-jari(R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran. - Tali busur(TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda. - Busur(B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. - Keliling lingkaran(K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran. - Diameter(D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. - Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
- Unsur-unsur
lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
- Juring(J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. - Tembereng(T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. - Cakram(C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
DAFTAR PUSTAKA
Maunah
Setyawati. Matematika 3.(Surabaya: LAPIS-PGMI,2009). Amanah Pustaka
Tidak ada komentar:
Posting Komentar