KATA
PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim
Dengan
memanjatkan syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT, yang telah mencurahkan
berkat dan rahmat-nya, sehingga makalah ini dapat diselesaikan.
Penulis
menyadari sepenuhnya bahwa pembahasan materi dari makalah ini, masih jauh dari
kesempurnaan. Untuk itu, kritik dan saran yang sifatnya konstruktif sangat
penulis harapkan demi kesempurnaan makalah ini.
Penulis
menyadari pula sepenuhnya bahwa dalam penyusunan makalah ini,sungguh banyak
kendala yang dihadapi, namun berkat pertolongan
Allah SWT yang telah memberikan kemudahan-kemudahan melalui bantuan
buku-buku bacaan dan pelajaran, sehingga pada akhirnya dapat juga diselesaikan.
Pada
penulisan makalah ini sebagian besar materinya dihimpun dari beberapa literatur
dan sumber buku-buku pelajaran dan bacaan yang yang menyangkut dalam materi
ini. Tentu saja materi ini sangat penting untuk mengikuti materi perkuliahan
dan pembelajaran di STIA Alma Ata.
Akhirul
kalam, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat dan membawa berkah
bagi penulis dan para pembaca, serta diridhai Allah SWT, amin.
Yogyakarta, 20
Oktober 2014
Penyusun,
DAFTAR ISI
Kata
Pengantar ........................................................................................................................
Daftar
Isi .................................................................................................................................
Bab
I Pendahuluan ................................................................................................
A. Latar Belakang .......................................................................................
B. Rumusan Masalah ..................................................................................
C.
Tujuan…………………………………………………………………...
Bab
II Pembahasan .................................................................................................
A.
Kelipatan Suatu Bilangan………………………………..........................
B.
Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan……………………........................
C.
Kelipatan Persekutuan Terkecil…............................................................
Bab
III Penutup .......................................................................................................
A. Kesimpulan .............................................................................................
Daftar
Pustaka..........................................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Kelipatan
persekutuan terkecil atau lebih sering disebut KPK, dalam pembelajaran KPK akan
membahas tentang kelipatan suatu bilangan, kelipatan persekutuan dari dua
bilangan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan serta
penggunaan KPK untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Untuk mudah
mempelajari KPK diperlukan dasar tentang bilangan prima, bilangan komposit.
Matematika sebagai salah satu ilmu
pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir
setiap orang. Oleh karena itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami
matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah tumbuh sejak usia dini. Membentuk
pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan
terlebih dahulu terhadap matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu
menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat
tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan
metode dan teknik-teknik yang bervariatif sehingga tidak monoton dan
membosankan bagi anak didik. Dengan begitu anak didik akan dengan mudah menghafal rumus dan mengerjakan
latihan agar lebih memahami setiap materi.
B.
Rumusan Masalah
a.
Apa pengertian kelipatan suatu
bilangan?
b.
Bagaimana cara menentukan
kelipatan persekutuan dari dua bilangan?
c.
Bagaimana cara mencari KPK dari
dua bilangan atau lebih?
C.
Tujuan
a.
Menambah referensi mahasiswa
untuk materi kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
b.
Untuk memperkuat pemahaman dan
melatih keterampilan mahasiswa dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang
terkait dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
BAB II
PEMBAHASAN
A. Kelipatan Suatu Bilangan
Kelipatan suatu
bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli.[1]
Untuk
KPK diperlukan dua bilangan atau lebih, selanjutnya diantara kelipatan tersebut
terdapat kelipatan terkecil yang disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Untuk memahami konsep suatu bilangan,
perhatikan ilustrasi pada garis bilangan di bawah ini.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
Bila kita melompat tiga-tiga sebanyak empat
kali dari 0, maka akan sampai ke 12. Hal ini dapat dinyatakan dengan 12= 4x3.
Oleh karena itu, 12 merupakan kelipatan dari 3.
Demikian juga, dari 0 dapt dilakukan lompatan
tiga-tiga sebanyak 5 kali untuk sampai ke 15. Jadi, 15 dapat dituliskan menjadi
15= 5x3, yang berarti 15 merupakan kelipatan 3. Enam juga merupakan kelipatan 3
sebab dari 0 dapat dilakukan lompatan tiga-tiga sebanyak 2 kali untuk sampai ke
6, yang berarti 6= 2x3. Ilustrasi ini menunjukkan bahwa kelipatan dari 3 tidak
tunggal, melainkan sangat banyak dan tak terbatas.
Sifat Dasar Perkalian
Setiap bilangan komposit dapat difaktorkan
secara tunggal kedalam suatu hasil kali bilangan-bilangan prima.
Sifat ini metepkan bahwa jika X sebarang
bilangan komposit, maka X dapat ditulis menjadi X=P1 P2 P3
...Pn dengan P1 bilangan prima.
Contoh 1:
Carilah faktor prima dari 450
Jawaban:
450 dapat dinyatakan sebagai hasil kali
bilangan prima dari 2,3, dan 5. Dengan demikian 450 dapat dinyatakan sebagai
450= 2.3.3.5.5
Definisi bialngan asli c disebut
kelipatan dari bilangan asli a, jika a membagi habis c.
Contoh 2:
12 adalah kelipatan 3 sebab 12:3= 4 (jadi 12
habis dibagi 3)
18 adalah kelipatan dari 9 sebab 18:9=2 (jadi
18 habis dibagi 9).
Konsep habis dibagi dalam konteks ini
dapatdijelaskan sebagai berikut. Suatu bilangan habis dibagi dengan bilangan
lain, jika hasil baginya adalah bilangan asli dan sisanya nol, seperti 12: 6= 2.
Hal ini berarti 12 habis dibagi oleh 6 atau 6 merupakan pembagi 12. Sebaliknya,
jika akan dicari kelipatan suatu bilangan maka cukup mengalikan bilangan
tersebut dengan suatu bilangan asli. Misalnya kelipatan 7 diantaranya 14 karena
14 = 7x2 atau 21 karena 21=7x3 atau 28 karena 28= 7x4 dan sebagainya. Jadi
14,21,28 adalah kelipatan 7.
B.
Kelipatan Persekutuan dari Dua Bilangan
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan
dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama.[2]
untuk menentukan kelipatan persekutuan dari dua
bilangan, langkah yang dapat dilakukan adalah:
a. Menentukan kelipatan bilangan yang pertama
secara berurutan mulai dari kulipatan yang paling kecil ke kelipatan yang lebih
besar.
b. Menentukan kelipatan bilangan kedua juga
secara berurutan dan mulai dari yang paling kecil ke kelipatan yang lebih
besar.
c. Pilih bilangan yang sama dari dua kelompok
kelipatan tadi dan urutkan dari yang paling kecil ke kelipatan yang lebih
besar.
Contoh: Tentukan KPK dari 3 dan
4
Jawaban
Kelipatan 3 adalah, 3 ,6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30, 33, 36 …
Kelipatan 4 adalah, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,…
Jadi KPK dari 3 dan 4
adalah 12, 24, 36...
Setelah melakukan hal serupa untuk beberapa
pasang bilangan, dapat diamati pola urutan bilangan kelipatan persekutuan yang
didapat sehingga dapat melakukan urutan berikutnya. Sebagai contoh, dari pola
kelipatan persekutuan bilangan 3 dan 4 yang didapat diatas, yaitu 12, 24,
36,... kita dapat menentukan bilangan berikutnya dengan menambah 12. Mengapa?
Dengan demikian, urutan berikutnya adalah 48, 60, dan seterusnya bertambah 12.
Contoh 2:
Tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5
sebanyak 5 buah!
Jawaban:
Kelipatan dari 3 adalah: 3, 6, 9, 12, 15, 18,
21, 24, 27, 30,...
Kelipatan dari 5 dalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30,
35,....
Jadi kelipatan 3 dan 5 adalah 15, 30,...
Karena pada mulanya sudah didapat kelipatan
persekutuannya adalah 15 dan 30, sedangkan yang diminta sebanyak 5 buah maka
tinggal melengkapinya dengan memperhatikan selisih dua bilangan yang didapat
itu. Dalam hal ini selisihnya adalah 15, sehingga 3 bilangan sisanya adalah 45,
60, dan 75. Langkah serupa dapat dilakukan jika diminta untuk menentukan kelipatan
persekutuan dari tiga bilangan atau lebih.
C.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Dari contoh di atas, terlihat bahwa kelipatan
persekutuan dari dua bilangan dapat membesar tanpa batas, namun dua bilangan
tersebut mempunyai kelipatan persekutuan yang paling kecil. Bilangan terkecil
yang merupakan kelipatan dari dua bilangan itu disebut kelipatan persekutuan
terkecil (KPK). Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan dapat
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi
Bilangan bulat positif m adalah
kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dua bilangan positif p dan q jika
dan hanya jika m adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat
dibagi oleh p dan q.
Contoh
Tentukan KPK dari 6 dan 8
Jawaban
Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24,.....
Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24,....
Jadi KPK dari 6 dan 8 adalah 24
Bilangan 24 adalah bilangan terkecil yang
habis dibagi oleh bilangan 6 dan 8
Berdasarkan contoh diatas kita dapat
mencari KPK dari dua bilangan bahkan lebih, dengan cara sebagai berikut;
a)
Tentukan kelipatan dari masing-masing bilangan yang akan kita cari
KPK nya.
b)
Tentukan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan itu.
c)
Tentukan bilangan terkecil dari kelipatan persekutuan tadi.
Bilangan ini merupakan KPK dari bilangan-bilangan tersebut.
Teknik lain untuk menentukan KPK dari dua
bilangan atau lebih adalah
dengan faktoriasi prima atau pohon faktor. Faktorisasi prima yang dimaksud
disini adalah perkalian antar bilangan prima.
Untuk menentukan KPK dari dua
bilangan atau lebih dapat dilakukan dengan cara berikut.
a)
Faktorkan bilangan-bilangan yang akan dicari
KPK nya dalam faktor prima.
b)
Ambil semua faktor yang ada.
c)
Jika ada faktor yang sama dan faktor tersebut memiliki pangkat yang
berbeda, maka ambil faktor
yang memiliki pangkat terbesar.
Contoh 1 : Tentukan KPK dari 42 dan 18
Jawaban :
42 = 2 X 3 X 7
18 = 2 X 32
Jadi, KPK dari 42 dan 18
adalah 2 X 32 X 7 = 126
Contoh 2 :
Tentukan KPK dari 45, 75 dan 120
Jawaban :
45 = 32 X 5
75 = 3 x 52
120 = 23 X 3 X 5
Jadi, KPK dari 45, 75 dan 120 adalah 23 X 32
X 52 = 1.800
Kelipatan persekutuan terkecil dari 3 atau
lebih bilangan bulat positif dapat ditemukan dengan terlebih dahulu mencari
kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan itu, sepasang demi
sepasang. Misalnya akan dicari KPK dari bilangan p, q, r, s maka perlu dicari
terlebih dahulu KPK dari bilangan p dan q serta KPK dari bilangan r dan s. Bila
KPK (p,q) = m1 dan KPK (r,s) = m2 maka KPK (p,q,r,s) =
KPK (m1, m2).
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua
bilangan atau lebih adalah hasil kali semua faktor-faktor prima pada kedua
bilangan, jika ada faktor yang sama pilih faktor dengan pangkat tinggi. Teknik
lain untuk menentukan KPK dari dua bilangan atau lebih adalah dengan
faktorisasi prima.
Salah satu cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan KPK
pasangan bilangan bulat positif adalah dengan menentukan terlebih dahulu FPB
pasangan bilangan tersebut. Setelah itu, KPK ditentukan dengan cara membagi
hasil kali pasangan bilangan tersebut dengan FPB nya.
Rumus :
KPK ( p , q ) = p X q
FPB
(p, q)
Contoh :
Tentukan KPK dari 146 dan 124
Jawaban:
KPK
146 , 124 = 146 x 124= 18.104
= 9.052
FPB (
146, 124) 2
Penggunaan KPK sering dijumpai dalam menyelesaikan soal-soal
cerita. Soal-soal cerita yang berkaitan dengan KPK dapat berbentuk seperti
contoh dibawah ini.
Contoh :
Tiga orang mahasiswa PGMI bernama Eka Cantik, Marlina Imut dan Neni
Cute diberi tugas matematika oleh Ibu Dian. Eka Cantik bertugas tiap 3 hari sekali ; Marlina Imut tiap 4 hari
sekali, Neni Cute tiap 6 hari sekali. Saat pertama kali Ibu Dian memanggil dan
memberi tugas, mereka mengerjakan bersama-sama pada tanggal 17 Sepember 2014. Pada
tanggal berapa mereka mengerjakan secara bersama-sama lagi untuk kedua kalinya?
Jawaban :
Dalam menjawab
soal diatas, kita dapat menerapkan prinsip KPK dari 3, 4, dan 6
Tugas Eka Cantik : 3 =3
Tugas Marlina Imut : 4 = 22
Tugas Neni Cute : 6 = 2 X 3
Jadi, KPK dari 3 , 4, dan 6 adalah 22 X 3 = 12. Hal ini
berarti ketiga mahasiswa tersebut akan mengerjakan tugas bersama selama 12
hari. Berarti mereka akan mengerjakan
tugas bersama pada tanggal 29 September 2014.
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan
bilangan asli.
untuk menentukan kelipatan persekutuan dari
dua bilangan, langkah yang dapat dilakukan adalah:
a. Menentukan kelipatan bilangan yang pertama
secara berurutan mulai dari kulipatan yang paling kecil ke kelipatan yang lebih
besar.
b. Menentukan kelipatan bilangan kedua juga
secara berurutan dan mulai dari yang paling kecil ke kelipatan yang lebih
besar.
c. Piih bilangan yang sama dari dua kelompok
kelipatan tadi dan urutkan dari yang paling kecil ke kelipatan yang lebih besar.
kita dapat mencari KPK dari dua
bilangan bahkan lebih, dengan cara sebagai berikut;
a)
Tentukan kelipatan dari masing-masing bilangan yang akan kita cari
KPK nya.
b)
Tentukan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan itu.
c)
Tentukan bilangan terkecil dari kelipatan persekutuan tadi.
Bilangan ini merupakan KPK dari bilangan-bilangan tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Widayanti, Esti
Yuli dkk.Pembelajaran Matematika MI (edisi pertama).
Kusaeri.
Matematika 2 (edisi pertma).(Surabaya: LAPIS-PGMI,2009). Amanah Pustaka
http://yos3prens.wordpress.com/2013/06/10/kelipatan-kelipatan-persekutuan-dan-kpk/ di ambil 27 oktober 2014 jam 11:21
http://ssarod.blogspot.com/ diambil 27 oktober 2014 jam 12:17
Tidak ada komentar:
Posting Komentar